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EXERCICE DE GYROSCOPIE |
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CONTENU : Mis à jour décembre 2000
STABILISATION GYROSCOPIQUE
EXEMPLE DE MOUVEMENT DE POINSOT |
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Durant la phase propulsée d'une fusée, il peut arriver qu'une stabilisation passive, c'est à dire sans dépense d'énergie, soit nécessaire.
C'est le cas notamment des lanceurs militaires à poudre (facilité de transport et de stockage), de certains étages de lanceurs civils à tuyères fixes et qui, hors atmosphère ne peuvent être stabilisés aérodynamiquement.
Voilà pourquoi un lanceur est mis en rotation, afin de le stabiliser, ce que nous allons étudier dans cet exercice.
DESCRIPTION
On considère, durant la phase propulsée d'une fusée composite (2ème+3ème étages), la mise en rotation à l'instant t = 0 de l'ensemble autour de son axe de révolution géométrique et inertiel appelé Gz. Cette mise en rotation, à 270 tours/minute, est assurée par 4 rétrofusées à poudre fonctionnant 1 seconde, et délivrant chacune une poussée F.
On donne C = 120 kg-m2 moment d'inertie axial du composite, L = 0.305 m distance à l'axe du lanceur de la direction des fusées.
1) Calculer la poussée F de chaque fusée, ainsi que la masse de poudre nécessaire. On rappelle que la poussée d'une fusée vaut F = qVe, où q est le débit massique et Ve la vitesse d'éjection des gaz brûlés. On adoptera Ve=2200 m/s.
2°) Des imperfections inévitables de fonctionnement font que la rotation n'est pas exactement sur l'axe lanceur et comporte une composante transversale, entraînant une petite rotation transversale parasite.
On note classiquement:
ro la rotation axiale initiale et r sa valeur au cours du temps.
w
o = 0.5 °/s le module de la rotation transversale initiale, en général petite devant la rotation axiale .A le moment d'inertie transverse du composite en mouvement.
l
= C/A = 0.015 l'allongement inertiel.Décrire avec un maximum de précision le mouvement de l'axe du lanceur. Donner l'angle de dépointage et la période du mouvement.
3°) Après séparation du deuxième étage et du troisième étage, la rotation ro se conserve naturellement mais la rotation transversale est de toute évidence perturbée, sa direction est aléatoire et son module vaut maintenant
w = 5 °/s, alors que le nouvel allongement inertiel est l = C/A = 0.2.Caractériser le nouveau mouvement conique comme précédemment.
4°) Sachant que la rotation transversale après séparation est disposée aléatoirement autour de l'axe lanceur, comment choisirez-vous l'instant de séparation, pour minimiser l'angle de dépointage de l'axe lanceur par rapport à la direction idéale choisie au temps 0?
Quel est alors ce dépointage maximal?
SOLUTION
1°) CALCUL DE LA POUSSEE
Si q désigne l'angle de rotation du composite autour de l'axe Gz, nous avons pour 0< t < 1s , l'équation vérifiée par cet angle , en application du théorème du moment cinétique sous sa forme la plus élémentaire.
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et |
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et avec la valeur finale de 270 tours/mn pour t = 1s , le calcul donne facilement F = 2781 N
2°) Caractérisation du mouvement ultérieur
Le composite, après la phase de lancement n'est plus soumis qu'à la force de gravitation qui, avec une très très grande précision, donne un moment nul au centre d'inertie du composite.
Le cours nous a alors montré que le mouvement d'un solide , mobile autour de son centre d'inertie, en l'absence de tout moment extérieur, était un
mouvement de Poinsot caractérisé par :Un mouvement conique de l'axe de révolution du solide.
La rotation axiale qui se conserve r = ro.
La rotation transversale qui se conserve en module
w = wo, ce qui ne signifie surtout pas que le vecteur rotation se conserve.Un demi-angle d'ouverture du cône
q constant
avec un mouvement périodique relativement au repère absolu.
La figure ci-dessus rappelle les notations et caractéristiques du mouvement ainsi que la position relative des différents vecteurs.
Le calcul donne
q = 1.18 ° et d'après le cours une période du mouvement de nutation conique par rapport au repère galiléen :|
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Donnant T = 14.81 s |
3°) Mouvement après séparation
Après séparation comme le montre la figure de la page précédente, l'axe du lanceur décrit un autre cône , qui n'a en commun avec le cône antérieur , qu'une génératrice, l'axe du lanceur au moment de l'opération supposée instantanée.
Des calculs analogues aux précédents avec les nouvelles données, fournissent :
q
= 0.88 ° et T = 1.11 s4°) Minimisation du dépointage
Pour que le dépointage par rapport à la direction visée au temps 0 s soit minimal, il faut attendre que sur le premier cône, l'axe repasse par cette position initiale et c'est à ce moment là qu'il faut programmer la séparation. De manière plus générale la séparation doit avoir lieu après un nombre entier de périodes sur le premier cône.
Donc le temps de séparation doit être t1 = 14.81 n + 1 secondes, le dépointage maximum ne peut donc pas dépasser 1.76 °, c'est à dire le double de la valeur calculée précédemment.
Guiziou Robert décembre 2000
Il existe une version Word 97 nommée
pointage lanceur.doc
